Chúng ta cùng xem xét bài toán quen thuộc sau. Chứng minh. Cách 1. F H N C

Transcription

1 Từ một bổ đề về đường thẳng uler guyễn Văn inh à ội Tóm tắt nội dung Trong bài viết tác giả giới thiệu tới bạn đọc một bổ đề liên quan tới điểm nằm trên đường thẳng uler và một số ứng dụng trong giải các bài toán liên quan tới đường thẳng uler. húng ta cùng xem xét bài toán quen thuộc sau. ài 1. ho tam giác không vuông. Gọi D là điểm thỏa mãn D = = D. hi đó D nằm trên đường thẳng uler của tam giác. hứng minh. ách 1. F D Gọi là giao của và D, F là giao của và D. hi đó hai tam giác F và lần lượt cân tại F và. Gọi, lần lượt là trung điểm của, suy ra F giao tại tâm ngoại tiếp của tam giác. Gọi, lần lượt là hình chiếu của trên, trên. giao tại trực tâm của tam giác. Xét hai đường tròn đường kính F và. Ta có = nên P /(F ) = P /(). Do tứ giác F nội tiếp đường tròn đường kính F nên F = hay P /(F ) = P /(). Ta có F = F nên tứ giác F nội tiếp, suy ra D DF = D D hay P D /(F ) = P D /(). Vậy,, D cùng nằm trên trục đẳng phương của () và (F ) hay D nằm trên đường thẳng uler của tam giác. ách 2. 1

2 F G D Gọi, F lần lượt là giao điểm của và D, và D;, lần lượt là trung điểm,. Do = = nên hai tam giác F và lần lượt cân tại F,. Suy ra F giao tại là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi G là trọng tâm của tam giác thì giao tại G. Áp dụng định lý Pappus cho hai bộ ba điểm (,, ) và (F,, ) ta có giao điểm của các cặp đường thẳng F và, F và, và lần lượt là D,, G thẳng hàng hay D nằm trên đường thẳng uler của tam giác. hận xét. ài toán 1 khá nổi tiếng, bạn đọc có thể tìm thấy trong một số tài liệu như [1] hoặc [2]. ua cách dựng điểm D, ta còn nhận thấy trong tam giác còn hai điểm khác có tính chất giống như D: điểm và F lần lượt thỏa mãn = = và F = = F. hi ta viết ba góc bằng nhau, bạn đọc nên hiểu rằng đó là các góc định hướng giữa hai đường thẳng. Tuy nhiên để bài viết đơn giản và tiện quan sát, tác giả viết theo góc thường. Tiếp theo chúng ta đến với một số ví dụ. ài 2. ho tam giác nội tiếp đường tròn (), là tâm uler., là hai điểm trên, sao cho là trung điểm. hứng minh rằng nằm trên đường thẳng uler của tam giác. hứng minh. (guyễn Tuấn ải Đăng, S TPT chuyên T) Gọi là điểm đối xứng với qua. Suy ra đối xứng với qua. Ta có là hình bình hành nên = =. Suy ra tứ giác nội tiếp, từ đó = = =. Tương tự ta thu được = =. Theo bài toán 1, nằm trên đường thẳng uler của tam giác. 2

3 ài 3. (Geometry athley ). ho tam giác nội tiếp đường tròn (). là tâm uler. ua kẻ các đường thẳng song song với, P song song với, song song với (, P,,,, ). hứng minh rằng đường thẳng uler của các tam giác,, P, đồng quy. G' S G X R P hứng minh. Trên, lấy các điểm S, R sao cho là trung điểm SR. Theo bài 2, nằm trên đường thẳng uler của tam giác SR. Dễ thấy tam giác là tam giác trung tuyến của tam giác RS nên đường thẳng uler của các tam giác và RS trùng nhau. Gọi G là trọng tâm tam giác thì G là đường thẳng uler của tam giác. Gọi G là trọng tâm tam giác thì G đối xứng với G qua trung điểm, từ đó G là trung điểm G. Do hai tam giác và đối xứng nhau qua trung điểm nên đường thẳng uler của hai tam giác song song với nhau. Gọi X là điểm đối xứng với qua thì G X G hay G X là đường thẳng uler của tam giác. hứng minh tương tự suy ra đường thẳng uler của các tam giác,, P, đồng quy tại điểm đối xứng với qua. hận xét. Thay điều kiện song song với cạnh bằng hình chiếu vuông góc của trên ba cạnh ta thu được bài toán mới. ài 4. (Vietnam I Training Test 2015) ho tam giác có là tâm đường tròn uler. Gọi X, Y, Z là hình chiếu của trên,,. hứng minh rằng đường thẳng uler của các tam giác Y Z, XZ, XY, đồng quy. hứng minh. ách 1. c a Y b Z J a 3

4 Gọi là tâm ngoại tiếp tam giác, là trung điểm. ta sẽ chứng minh đường thẳng uler của các tam giác Y Z, XZ, XY đều đi qua. Gọi a là tâm ngoại tiếp tam giác Y Z. J là trung điểm a. J cắt tại. Ta có a là trung điểm nên a. Từ đó thu được là trung điểm. Gọi a, b, c lần lượt là trung điểm,,. Ta có và lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác b c và a b c nên và đối xứng nhau qua b c. Từ đó J là trung điểm b c và J b c. Suy ra tứ giác JY b nội tiếp, ta thu được JY = J b = b a c =. Tương tự suy ra Y J = ZJ = Y Z. Áp dụng bài toán 1 suy ra J nằm trên đường thẳng uler của tam giác Y Z. Vậy a là đường thẳng uler của tam giác Y Z. hứng minh tương tự ta có đpcm. ách 2 (ê Thị ải inh, S TPT chuyên ắc inh). c Z c T R a b J Y b a Gọi, a, J, lần lượt là trung điểm,,, ; a, b, c lần lượt là trung điểm,,. Ta có ( a b c ) và ( b c ) đối xứng qua b c nên các tâm ngoại tiếp và đối xứng qua b c, suy ra J là trung điểm b c. iển nhiên J là trung điểm a. Gọi b, c là chân đường cao kẻ từ,. R, lần lượt là trung điểm b c, XY. Do by = cz = 1 và R,, J lần lượt là trung điểm b c, Y Z, b c nên theo định lý Y b Z c RI, là trung điểm RJ. Ta có R b c, b c, a nên R a. Gọi là giao của a với. í hiệu d /l là khoảng cách từ đến đường thẳng l. Do = nên d R/ = 2d J/. là trung điểm RJ nên d / = 3 2 d J/. Từ đó a = 2 a. Gọi T là trực tâm tam giác Y Z thì T = 2 a hay T = a, suy ra T a. Từ đó T, a, thẳng hàng hay đường thẳng uler của tam giác Y Z đi qua trung điểm. hứng minh tương tự ta có đpcm. Tiếp theo chúng ta đến với một bài toán của tác giả trong đợt tập huấn I năm ài 5. ho tứ giác D có = = 120. Phân giác góc và góc giao nhau tại P. hứng minh rằng đường thẳng uler của 10 tam giác có đỉnh là 3 trong 5 điểm,,, D, P đồng quy. 4

5 1 P G 2 T X Y D hứng minh. Gọi G, lần lượt là trọng tâm tam giác P D, D; là trung điểm D, 1, 2 lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác D,. P cắt ( 1 ) lần thứ hai tại. Dễ thấy tam giác D đều nên 1 là trọng tâm tam giác D. Từ đó 1 = G P = = 1. Suy ra 3 1, G, thẳng hàng hay đường thẳng uler của tam giác D đi qua trọng tâm tam giác P D. hứng minh tương tự với các tam giác D, P, DP, P, DP. hư vậy ta cần chứng minh G nằm trên đường thẳng uler của các tam giác, D, P. Gọi Y, X là giao của G với ( 2 ), G với ( 1 ), P cắt ( 2 ) lần thứ hai tại T. Ta có G 1 nên theo định lý Reim, X, 1, G, 2 đồng viên. Tương tự 1, G, 2, Y đồng viên. hư vậy 5 điểm X, 1, G, 2, Y cùng nằm trên ω. à 1 X = 2 Y nên XY T. Từ đó Y = X. Đặt P G = P G = x. iển nhiên số đo các cung X 1, 1 2, 2 Y của ω đều bằng 2x. Do đó XGY = 180 3x. à XGY = 360 G G = 360 2x 120. Do đó = 60 + x = G = G. Áp dụng bài toán 1 suy ra G nằm trên đường thẳng uler của tam giác. Tương tự với tam giác D. ằng cộng góc cũng suy ra P = 180 x = 180 P G = 180 P G. Suy ra G nằm trên đường thẳng uler của tam giác P. Ta có đpcm. ài 6. ho tam giác không cân có l là phân giác góc. hứng minh rằng l song song với đường thẳng uler của tam giác khi và chỉ khi = 120. F F R P 5

6 hứng minh. - ếu = 120. Về phía ngoài tam giác dựng các tam giác đều F và. hi đó d F. Theo cách chứng minh bài toán 1, ta biết rằng F giao tại một điểm nằm trên đường thẳng uler của tam giác. Do đó các đường thẳng l, F, và đường thẳng uler của tam giác đôi một song song. - ếu l song song với đường thẳng uler của tam giác. Gọi, F lần lượt là giao của đường trung trực với, đường trung trực với. Giả sử F và không song song. hi đó F giao tại P. Gọi, lần lượt là trung điểm F,. giao, lần lượt tại, R. Theo cách giải 1 của bài toán 1, P là trục đẳng phương của các đường tròn (, F 2 ) và (, ). Do đó P. à P là đường thẳng uler của tam giác nên l. Suy 2 ra tam giác R cân tại. à hai tam giác F và đồng dạng nên = R. Suy ra tam giác P cân tại P hay P = P. ặt khác P nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn (), () nên F =. Điều này vô lý do hai tam giác F và đồng dạng và. Do đó F. Suy ra = F = = hay và F là hai tam giác đều. Suy ra = 120. Tiếp theo là một bài toán từ kì thi Tuymaada- Republic of Saka, Russia. ài 7. (Tuymaada 2009) ho tam giác nội tiếp đường tròn (). Gọi 1 là điểm đối xứng với qua, 1 là điểm đối xứng với qua, a là điểm đối xứng của qua. hứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 1 nằm trên a. J 1 1 c b a hứng minh. (Đinh gọc Tùng, S TPT chuyên ạ ong, uảng inh) Gọi J, b, c lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác 1 1, 1 và 1. Do phép đối xứng ta có và b đối xứng qua, và c đối xứng qua. Do đó = b = c hay là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác b c. Dễ thấy a là trực tâm tam giác b c nên a là đường thẳng uler của tam giác b c. ( c ) và (J) cắt nhau tại và 1 nên J c = = 180 = c b. hứng minh tương tự suy ra J c = c b = J b. Áp dụng bài toán 1 suy ra J nằm trên đường thẳng uler của tam giác b c hay J a. hận xét. Thực hiện phép đổi trực tâm thành đỉnh tam giác, ta được một bài toán trong kì thi P ài 8. (P 2010). ho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn () với là trực tâm. Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt lần thứ hai tại, đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt lần thứ hai tại. hứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên. 6

7 J c b a hứng minh. ản chất của bài toán này giống bài 7. Do đó ta hoàn toàn sử dụng được cách tương tự như sau. Gọi J, a, b, c lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác,,,. Dễ thấy cũng đồng thời là đường thẳng uler của tam giác a b c. Do (J) và ( b ) giao nhau tại và, ( b ) và ( a ) giao nhau tại và nên J b a = 180 = = b a c. hứng minh tương tự suy ra J b a = b a c = 180 J c a. Do đó theo bổ đề 1, J nằm trên. ài 9. ho tam giác. I a là tâm đường tròn bàng tiếp góc. Gọi là điểm đối xứng với I a qua. hứng minh rằng song song với đường thẳng uler của tam giác I a. R P I G F J I a hứng minh. Gọi, F lần lượt là trung điểm các cung, của đường tròn (). Suy ra I a và F I a. Gọi G là giao điểm của và F. Ta có I a F = = I a nên F I a = F hay GI a = I a. hứng minh tương tự suy ra GI a = I a = GI a. Áp dụng bài toán 1, G nằm trên đường thẳng uler của tam giác I a. Gọi là giao điểm của F và, J là điểm chính giữa cung,, J giao () lần thứ hai tại, R. 7

8 Áp dụng định lý rocard cho tứ giác F, ta có là trực tâm tam giác GI a. ại áp dụng định lý rocard lần thứ hai cho tứ giác RJ, suy ra R giao J tại G. Do F là đường trung trực của I a và là đường trung trực của I a nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I a. Ta có G = J = + 1 2, = = 90 I a = 90 I a I a. ằng một số phép tính góc đơn giản ta thu được G = hay GJ. hận xét. Ta có thể suy ra một tính chất khá thú vị là G nằm trên đường thẳng I với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác như sau. Gọi P là giao của I a với G, là giao của với GI a. Do là trực tâm tam giác GI a nên GP I a = I a = 90. Do GI a là đường đối cực của ứng với () nên P I a = = P /() =. Do đó P (I a ). Suy ra GP đi qua điểm đối xứng với I a qua tâm của (I a ) hay GP đi qua I. Vậy G I. Từ nhận xét trên, bằng cách đổi vai trò của các tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác về các đỉnh,, ta thu được hai bài toán sau. ài 10. ho tam giác. ác đường cao 1, 1. Gọi 2, 2 lần lượt là trung điểm,. 1 2 giao 2 1 tại P. hứng minh rằng P là giao điểm của đường thẳng uler của hai tam giác và 1 1. ài 11. ho tam giác. ác đường cao 1, 1. Gọi 2, 2 lần lượt là trung điểm,. Gọi P là giao điểm của 1 1 và 2 2. hứng minh rằng P vuông góc với đường thẳng uler của tam giác. Tiếp theo xin giới thiệu với bạn đọc một bài toán khá nổi tiếng về đường thẳng uler. ài 12. ho tam giác. ột đường thẳng d song song với đường thẳng uler của tam giác cắt, lần lượt tại, F. hứng minh rằng đường thẳng uler của tam giác F song song với. hứng minh. Ta phát biểu và chứng minh một bổ đề sau. ổ đề. ho hai tam giác, và cặp điểm P, trong mặt phẳng. iết rằng, P,, P, P. hi đó. ' ' ' T P hứng minh. Trên lấy điểm sao cho P, đường thẳng qua song song với cắt P tại T. T cắt tại. Theo giả thiết ta thu được hai tam giác và P T đồng dạng với cặp điểm có vị trí tương đương trong hai tam giác là,. hư vậy ta cần chứng minh T. Do T suy ra T = P. à P nên P =. hư vậy T = hay = T. Vậy T hay. Trở lại bài toán. 8

9 ' ' F Gọi, là điểm thỏa mãn = =, = F = F. Theo bài toán 1,, lần lượt nằm trên đường thẳng uler, của các tam giác, F. Do cách dựng ta thu được, F. ại có, F, F. Áp dụng bổ đề trên suy ra hay. hận xét. Theo cách giải trên ta có thể tổng quát bài toán như sau. Tổng quát. ho tam giác và hai điểm, F bất kì nằm trên,. Gọi, lần lượt là trực tâm tam giác, F. P là điểm bất kì trong mặt phẳng. là điểm thỏa mãn P, F P. hi đó. Ta cũng có thể thay, trong bài toán tổng quát thành hai tâm ngoại tiếp,. ài toán trên là một bổ đề quan trọng trong phép chứng minh định lý Gossard, phát biểu như sau. Định lý Gossard. ho tam giác. Đường thẳng uler của tam giác cắt các cạnh,, lần lượt tại X, Y, Z. hứng minh rằng đường thẳng uler của các tam giác Y Z, XZ, XY cắt nhau tạo thành một tam giác vị tự với tam giác theo tỉ số 1, tâm vị tự nằm trên đường thẳng uler của tam giác. Để kết thúc bài viết mời bạn đọc thử sức một số bài toán sau. ài 13. ho tam giác. ác đường cao 1, 1. hứng minh rằng đường thẳng uler của hai tam giác 1 1 và song song khi và chỉ khi = 60. ài 14. hứng minh rằng tiếp tuyến chung của đường tròn nội tiếp và đường tròn uler của một tam giác song song với đường thẳng uler của tam giác đó khi và chỉ khi có một trong ba góc của tam giác bằng 60. ài 15. ho tam giác có = 30. Gọi là tâm đường tròn uler của tam giác, P, là hình chiếu của trên,, là trung điểm. hứng minh rằng P =. 9

10 Tài liệu [1] Đoàn uỳnh, Văn hư ương, Trần am Dũng, guyễn inh à, Đỗ Thanh Sơn, ê á hánh Trình, Tài liệu chuyên Toán bài tập ình học 10, X Giáo Dục, [2] guyễn Văn ho, hững định lý chọn lọc trong hình học phẳng qua các kì thi lympic, X Giáo Dục, [3] Tổng tập athley, , exagon of math and science. [4] guyễn Văn inh, Vietnam I training 2015, uclidean Geometry log. [5] ops topic sian Pacific athematical lympiad 2010 Problem 4. [6] ops topic Prove that the circumcentre of 1 1 lies on the line 1. [7] ops topic l is parallel the uler line. [8] ops topic Tangent and uler line. [9] ops topic Gossard theorem. mail: ovemathforever@gmail.com 10