Định lý Đào về đường thẳng Simson mở rộng Nguyễn Văn Linh Năm 205 Năm 204, tác giả Đào hanh ai đề xuất bài toán sau (không kèm lời giải). ài toán (Đào hanh ai). ho tam giác nội tiếp đường tròn (). là điểm bất kì nằm trên () và l là một đường thẳng bất kì qua. Gọi,, lần lượt là giao của,, với l; 2, 2, 2 lần lượt là hình chiếu của,, trên,,. hứng minh rằng 2, 2, 2 thẳng hàng và đường thẳng qua 2, 2, 2 chia đôi đoạn nối trực tâm tam giác với. hú ý rằng khi l đi qua ta thu được đường thẳng Simson của ứng với tam giác. hứng minh. húng ta phát biểu lại bài toán dưới dạng sau. ho tứ giác D nội tiếp đường tròn (). Một đường thẳng l bất kì qua cắt,, D, D,, D lần lượt tại X,, Z,, U, V. Gọi X,, Z,, U, V lần lượt là hình chiếu của X,, Z,, U, V trên D, D,,, D,. hi đó X,, Z,, U, V cùng nằm trên một đường thẳng d. Ngoài ra, nếu ta gọi H a, H b, H c, H d lần lượt là trực tâm các tam giác D, D, D, thì H a, H b, H c, DH d đồng quy tại trung điểm của mỗi đường và d đi qua. rước tiên xin phát biểu hai bổ đề. ổ đề. Quỹ tích các điểm có tỉ số phương tích tới hai đường tròn không đồng tâm cho trước không đổi là một đường tròn đồng trục với hai đường tròn đã cho. ổ đề là một bài toán quen thuộc, lời giải xem tại [3]. ổ đề 2. Gọi M, N,, Q lần lượt là trung điểm của,, D, D, d M, d N, d, d Q lần lượt là các đường thẳng qua M, N,, Q và vuông góc với D, D,,. hi đó H a, H b, H c, DH d, d M, d N, d, d Q đồng quy tại. M Q H a N H b D
hứng minh. Dễ thấy H b = 2 = H a. Mà H b H a nên H b H a là hình bình hành. Điều này nghĩa là H a và H b có chung trung điểm. ương tự H a, H b, H c và DH d đồng quy tại. Ngoài ra, M là đường trung bình của tam giác H a nên M H a hay M D. ương tự ta có thể chứng minh N D, and Q. ổ đề 2 được chứng minh. Z X Z D X hật vậy, gọi Z, X lần lượt là giao của với, D. a sẽ chứng minh tỉ số phương tích của 4 điểm Z, X, X, Z đến hai đường tròn () và ( ) bằng nhau. a có Z /() Z /( ) = X/() X /( ) khi và chỉ khi Z Z X X Z Z = X X. Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác suy ra điều này tương đương: sin Z sin Z sin Z sin X sin X sin Z = sin X sin X () Mà Z = = = X, Z + X = 80, Z = X, Z + X = 80 nên () hiển nhiên đúng. hứng minh tương tự suy ra Z /() Z /( ) = X/() X /( ) = X /() X /( ) = Z/() Z /( ). Suy ra X, Z, X, Z cùng nằm trên đường tròn ω đồng trục với () và ( ). âm của đường tròn này nằm trên l nên XZ là đường kính của ω. Suy ra Z Z, X X. Vậy X,, Z, thẳng hàng. hứng minh tương tự suy ra 6 điểm X,, Z,, U, V thẳng hàng. 2
Q N D Mặt khác, từ bổ đề 2 suy ra Q song song với N và N song song với Q. Suy ra QN là hình bình hành. ừ đó N = Q = = N. heo định lý hales,,, thẳng hàng. Do đó đường thẳng qua 6 điểm X,, Z,, U, V phải đi qua. ài toán được chứng minh. Nhận xét. Đường thẳng Simson có một tính chất nổi tiếng phát biểu rằng góc giữa hai đường thẳng Simson của hai điểm và bằng một nửa số đo cung. a thử áp dụng tính chất này vào bài toán và thu được tính chất tương tự. ính chất. Gọi là điểm bất kì khác trên () và định nghĩa 2, 2, 2 tương tự 2, 2, 2. hi đó góc giữa đường thẳng đi qua 2, 2, 2 và đường thẳng đi qua 2, 2, 2 bằng một nửa số đo cung. ' 2 ' L 2 l ' ' hứng minh. Gọi là giao điểm của l và,, lần lượt là hình chiếu của trên,, d và d lần lượt là đường thẳng đi qua 2, 2, 2 và 2, 2, 2. d giao d tại L. ừ dạng thứ hai của bài toán, nằm trên d và nằm trên d. 3
a có (d, d ) = 2 L 2 = 80 L 2 2 L 2 2 = 2 = = =, bằng một nửa số đo cung. húng ta lại nhớ đến tính chất của đường thẳng Simson: Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại X thì X song song với đường thẳng Simson của. a thử tìm tính chất tương tự trong bài toán tổng quát. ính chất 2. Gọi là điểm đối xứng với qua l. Qua kẻ đường vuông góc với ba cạnh của tam giác cắt () lần lượt tại X,, Z. hi đó X,, Z cùng song song với d. Hay nói cách khác, đường thẳng Simson của song song với d. 2 2 E ' 2 hứng minh. Gọi E là giao của l với. ẻ E thì l. a có = 80. Do l, nên = 80 E = 80 2. Suy ra = 2. Vậy d. hứng minh tương tự suy ra đpcm. iếp theo, chú ý rằng trung điểm đoạn nối trực tâm với nằm trên đường tròn Euler của tam giác. heo dạng thứ hai của bài toán, là trung điểm chung của các đoạn thẳng H a, H b, H c, DH d, do đó nằm trên đường tròn Euler của các tam giác, D, D, D hay là điểm Euler-oncelet của bộ 4 điểm (,,, D). a thu được tính chất sau. ính chất 3. Đường thẳng d đi qua điểm Euler-oncelet của bộ 4 điểm (,,, ). 2 2 2 4
ính chất 4. Gọi là giao điểm thứ hai của d với đường tròn Euler của tam giác. l cắt,, lần lượt tại X,, Z. hi đó các đường tròn đường kính X,, Z đồng quy tại. 2 Z J M L 2 hứng minh. Gọi M là trung điểm, J, L lần lượt là hình chiếu của, Z trên,. a có J, M,, cùng nằm trên đường tròn Euler của tam giác, L nằm trên d, J, L cùng nằm trên đường tròn đường kính Z. a có MJ = M. heo bổ đề 2, M do đó M ZL. Suy ra M = ZL. Vậy MJ = LZ hay LZJ là tứ giác nội tiếp. Vậy nằm trên đường tròn đường kính Z. hứng minh tương tự, cũng nằm trên đường tròn đường kính X,. Nhận xét.. Gọi H a, H b, H c là chân 3 đường cao của tam giác. Dễ thấy H HH a = H HH b = H HH c nên H nằm trên trục đẳng phương của 3 đường tròn đường kính X,, Z. Gọi G là giao điểm thứ hai của 3 đường tròn này ta có H HG = H HH a = k. Lại có phép nghịch đảo tâm H phương tích k biến đường tròn Euler thành đường tròn () nên G nằm trên (). Vậy ta có tính chất: Đường tròn đường kính X,, Z đồng quy tại 2 điểm, một điểm nằm trên đường tròn Euler và một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. 2. rong tạp chí H tháng 8/205, bài toán 2 đề ra kì này có nhắc tới khái niệm cực trực giao. ực trực giao có một tính chất khá nổi tiếng, phát biểu rằng cực trực giao của một đường thẳng l đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp thì nằm trên đường tròn Euler. rong trường hợp này, cực trực giao là điểm nti-steiner của tam giác trung tuyến ứng với l và nằm trên đường tròn pedal của mọi điểm nằm trên l. (xem [4], [5]). hú ý rằng đường tròn pedal của X,, Z ứng với tam giác chính là đường tròn đường kính X,, Z. Do đó chính là cực trực giao của đường thẳng l ứng với tam giác. a thu được tính chất sau. ính chất 5. ực trực giao của các tam giác,,, ứng với đường thẳng l cùng nằm trên d. ính chất 6. a gọi d là đường thẳng Simson mở rộng của ứng với đường thẳng l. Gọi Q là điểm đối xứng với qua, d Q là đường thẳng Simson mở rộng của Q ứng với l. Đường thẳng qua vuông góc với d giao đường thẳng qua Q vuông góc với d Q tại J. hi đó J () và đường thẳng Simson mở rộng của J ứng với l đi qua tâm đường tròn Euler của tam giác. 5
d' S l Q L H E M d J hứng minh. heo bài toán, d và d Q lần lượt đi qua trung điểm và L của H và HQ. Lại theo tính chất 2, góc giữa d và d Q bằng một nửa số đo cung Q, mà Q là đường kính của () nên d d Q tại cực trực giao của tam giác ứng với đường thẳng l. Vậy JQ = 90 hay J (). Gọi M là trung điểm của HJ, d J là đường thẳng Simson mở rộng của J. Suy ra M d J. heo tính chất 5, d J đi qua. Gọi S là giao của d Q và d J. heo tính chất, ta có L M = Q J = J = SQ, do đó d J J. Suy ra d J là đường trung bình của tam giác HJ hay d J đi qua tâm đường tròn Euler của tam giác. Nhận xét. Gọi J là điểm đối xứng với J qua thì đường thẳng Simson mở rộng d J của J vuông góc với d J tại. Mà d J đi qua tâm đường tròn Euler nên d J là tiếp tuyến của đường tròn Euler. ừ đó suy ra tính chất sau. ính chất 7. Đường thẳng qua song song với d giao đường thẳng qua Q song song với d Q tại J. hi đó J () và đường thẳng Simson mở rộng của J tiếp xúc với đường tròn Euler của tam giác. Nhận xét. húng ta lại nhớ đến tính chất điểm Feuerbach là điểm nti-steiner của tam giác trung tuyến ứng với đường thẳng I. Như vậy khi l I, trùng với điểm Feuerbach F e. hi đó đường thẳng Simson mở rộng của J ứng với I là tiếp tuyến chung của đường tròn Euler và đường tròn nội tiếp. Đến đây bài viết xin được dừng lại. Một số nhận xét được tác giả nêu ra và chưa chứng minh đều là các kết quả rất nổi tiếng trong hình học. Do khuôn khổ có hạn nên chưa có điều kiện giới thiệu lời giải cho các tính chất này. Mong bạn đọc xem như bài tập và tự mình nghiên cứu. 6
ài liệu [].. Dao, dvanced lane Geometry, message 78, September 26, 204, available at https://groups.yahoo.com/neo/groups/dvancedlanegeometry/conversations/messages/78 [2].ogomolny, Generalization of Simson line, available at http://www.cut-the-knot.org/m/geometry/generalizationsimson.shtml [3] Nathan ltshiller-ourt, ollege Geometry: n Introduction to the Modern Geometry of the riangle and the ircle, Dover ublications, New ork, (2007) p.2-23. [4] Honsberger, R. "he rthopole." h. in Episodes in Nineteenth and wentieth entury Euclidean Geometry, Washington, D: Math. ssoc. mer., pp. 25-36, 995. [5] Nguyễn Văn Linh, Fontené theorem and some corollaries, Euclidean Geometry log. http://nguyenvanlinh.wordpress.com Nguyễn Văn Linh, Hà Nội, Việt Nam. Địa chỉ E-mail: lovemathforever@gmail.com 7